فراکتال

شکی نیست که فقط در مورد هر کس در این سیاره یک فراکتال در طول عمر خود دیده می شود وجود دارد, حتی اگر بسیاری حتی نمی دانند. هر چیز طبیعی در سیاره ما را می توان با اصطلاحات ریاضی توصیف کرد. اینجاست که موضوع فراکتال ها مطرح می شود. فراکتال در همه جا در طبیعت رخ می دهد و گاهی اوقات می تواند به عنوان تشکیل هسته اصلی زندگی ما به تصویر کشیده شود. توانایی درک ساختار یک فراکتال ریاضی توانایی درک چگونگی شکل گیری همه چیز در این جهان را باز می کند. فراکتال به شکل خشن یا تکه تکه است که می تواند به قطعات کوچکتر شکسته است که می تواند به عنوان یک کپی کوچکتر از شکل اصلی دیده می شود تعریف شده است. این تقریبا غیر ممکن است برای توصیف چیزهای طبیعی در جهان ما, مانند ابرها, درختان, گیاهان و غیره, به عنوان تصاویر هندسی. به همین دلیل است که فراکتال ها بخش مهمی از ساختار طبیعت هستند. این تاریخچه فراکتال ها با توجه به اینکه "پدر" فراکتال ها چند هفته پیش درگذشت بسیار جالب است. همچنین مشاهده انواع مختلف مجموعه هایی که فراکتال ها را توصیف می کنند از اهمیت بالایی در کاربرد کلی برخوردار است. در نهایت من در مورد برنامه نویسی کامپیوتر فرکتال ها و نحوه ایجاد خود به خود می نویسم.

بنوا مندلبرو را پدر هندسه فراکتال می دانند. او گفته است که اولین چیزی که او شروع به حتی در مورد ایده فرکتال فکر می کنم زمانی بود که او در تلاش بود به شکل از چه مدت ساحل بریتانیا بود. چیزی که او کشف کرد این بود که اگر به نقشه نگاه کنید و روی نقشه بزرگنمایی کنید الگوهای تکراری ظاهر می شوند. [هافمن 2010]. این ایده که او دقیق ترین اندازه گیری خط ساحلی انگلیس را انجام می داد با توجه به طول حاکمی که استفاده می کرد تعیین شد. او نشان داد که حاکمان کوچکتر دقیق تر هستند زیرا می توانند به جای استفاده از یک خط کش بزرگ بهتر در الگوهای نامنظم ساحل قرار بگیرند. او نتیجه گرفت که به عنوان مقیاس اندازه گیری او با استفاده از کاهش در اندازه, طول واقعی خط ساحلی افزایش [لوبندر 1999]. این نشان می دهد که ما می توانیم با استفاده از واحد اندازه گیری کوچکتر تعداد بی نهایت بار در خط ساحلی بزرگنمایی کنیم و تخمین دقیق تری داشته باشیم. مندلبرو همیشه میگفت به چیزی که میبینید فکر نکند بلکه به چیزی که میبینید نیاز دارد. "کلید فراکتال geometry... is که اگر شما بر روی سطح نگاه, شما پیچیدگی را ببینید و به نظر می رسد بسیار غیر ریاضی" [نیوجرسی و شوارتز 2008]. مطالعات وی در مورد خط ساحلی انگلیس منجر به یکی از ایده های اصلی فراکتال ها می شود که به عنوان شباهت به خود شناخته می شود. "یک مجموعه س نامیده می شود خود مشابه اگر س را می توان به تقسیم کرد ک زیرمجموعه های متجانس که هر کدام را می توان با یک عامل ثابت بزرگ کرد متر برای تولید کل مجموعه ها" [شاپیرو 2010]. با نگاه کردن به خط ساحلی بریتانیا از فاصله دور و سپس زوم کردن بسیار نزدیک, تصاویر مشابه نگاه. شباهت به خود یک ایده اصلی بزرگ هنگام طبقه بندی فراکتال است. اگر چه مندلبرو یکی به سکه اصطلاح "هندسه فراکتال" در بود 1975, بسیاری از ریاضیدانان قبل از زمان خود که متوجه این ویژگی از خود شباهت وجود دارد.

یک شروع ساده برای درک شکل گیری فراکتال ها نگاه کردن به مثلث سیرپینسکی است. واکلاو سیرپینسکی ریاضیدان لهستانی که مهم ترین کار در زمینه نظریه مجموعه بود, نظریه اعداد, و توپولوژی مجموعه نقطه [معما 2010]. چیزی که سیرپینسکی به ذهنش رسید این بود که ابتدا به یک مثلث بزرگ متساوی الاضلاع نگاه کند. وی سپس شروع به تقسیم این مثلث بزرگ به چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر کرد. این عمل بارها و بارها تکرار می شود و مثلث مرکزی هر بار باز می شود [لاووریر 1991]. نگاه کردن به این مثلث و تقسیم کردن تعداد نامحدودی از دفعات ایده شباهت به خود را نشان می دهد که بر کدام فراکتال ها استوار است. با نگاهی به طرح مثلث سیرپینسکی می توان نتیجه گرفت که اگر تعداد مثلث ها افزایش یابد طول و مساحت مثلث ها کاهش می یابد. اگر ما اجازه $N_k$ معنی چگونه بسیاری از مثلث ما در اصلی مثلث $L_k$ معنی کردن طول اضلاع هر مثلث $A_k$ بود مساحت مثلث ما معادلات زیر: : \beginequation\begin N_k=3^k

onumber\\ L_k=(1/2)^k=2^(-k)

onumber\\ A_k=L_k^2\timesN_k=(3/4)^k<|c|c|>onumber\\\ \end\endequation ما باید درک کنند که ما می توانیم یک بخش از این تقسیم مثلث و آن را به نگاه دقیقا مانند تمام مثلث خود را به عنوان تعداد تکرارها تمایل به بی نهایت مساحت هر مثلث به سمت صفر اما هرگز برابر با صفر است.

نوع دیگری از تصویر فراکتال منحنی کخ نامیده می شود. هلگ فون کوچ ریاضیدانی بود که منحنی ها را بدون هیچ مماس مطالعه می کرد. او به این ایده رسید که هر بخش خط را می توان بی نهایت طولانی توصیف کرد. ایده منحنی کخ یا فراکتال این است که یک قطعه خط با مقداری طول take ل$ $. سپس این قسمت خط را برداشته و به سه قسمت مختلف با طول مساوی تقسیم کنید. با در نظر گرفتن قطعه میانی و تقسیم به دو و پیکربندی یک مثلث متساوی الاضلاع از این, ما طول کل قطعه خط گسترش زمانی که با هم اضافه شده. مثلا, اگر ما در زمان یک خط که طول حال 1 و در زمان از یک سوم وسط بخش و اضافه شده در یک مثلث متساوی الاضلاع, ما چهار بخش خط کوچکتر از طول دارند, 1/3. بنابراین خط اصلی طول 1 به طول 4/3 تبدیل شده است. انجام این کار بارها و بارها گسترش طول که بخش خط اصلی را حفظ خواهد کرد [لاووریر 1991]. اگر ما به درخواست این فرایند به یک شکل خاص, مثلث متساوی الاضلاع برای مثال, نتیجه خواهد بود یک شکل است که به نظر می رسد مانند یک برف ریزه. نشان داده شده است که این دانه برف کوچ دارای محیط بی نهایت اما مساحت محدود است. به منظور دیدن این اجازه می دهیم number ن_ک number تعداد اضلاعی باشد که دانه برف پس از اتمام مرحله ک.ک از روند دارد. ما با سه ضلع شروع می کنیم زیرا یک مثلث متساوی الاضلاع است: \شروع\شروع ن_0=3\غیرتعداد\ \ ن_1 =4 3 3=12\غیرتعداد\\ 2=4×12=4^2 ×3\3 = 4^3\3 \ غیرعدد\\ ن_ک = 4ن_ (ک-1) = 4^ک × 3\غیرعدد\\ \\پایان \ پایان / پایان / پایان / پایان هر قطعه خط سه بار تقسیم می شود, بنابراین اگر ما نل ال _ک طول هر قطعه را بعد از مرحله دوم تعریف کنیم, سپس ما $ $ ال _ک=1/3^ک$ $. سپس برای محیط باید تعداد اضلاع را در طول هر ضلع ضرب کنیم تا اجازه دهیم $ $ پ_ک be محیط بعد از ک گام باشد. ما داریم p پ_ک = ن_کلک = 3 (4/3)^ک $ $ با نگاه کردن به این معادله می بینیم که همانطور که ک به بی نهایت تمایل دارد, همچنین محیط. سپس می توان نتیجه گرفت که دانه برف کوچ به عنوان منطقه محدود اما محیط بی نهایت [شاپیرو 2010].

ریاضیدان گرگ کانتور که یکی از بنیانگذاران نظریه مجموعهها بود فراکتال کانتور را کشف کرد. این فراکتال شبیه منحنی کوچ است. شبیه منحنی کوچ با یک قطعه مستقیم شروع می کنیم و به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس یک سوم میانی را بردارید اما نقاط پایانی را حفظ کنید. بنابراین با یک خط و دو نقطه انتهایی شروع کردیم و به دو خط و چهار نقطه انتهایی تبدیل کردیم. این فرایند این است که بارها و بارها تکرار شود, و نتیجه پس از چند بار, خواهد بود نقاط. \شروع \شروع

\مراحل خط و تعداد بخشهای خط و طول بخشهای خط\\ \خط 1& 2^1=1 & 1/3^(1)=1/3\\ \هلین 2& 2^2=4 & 1/3^(2)=1/9\\ \هلین 3& 2^3=8 & 1/3^(3)=1/27\\ \هاین ن & 2^ن& 1/3^(-ن)\\ هاین \پایان \پایان این جدول نشان می دهد, طول خطوط تمایل به نزدیک شدن به صفر به عنوان ما مقدار مراحل اعمال ما را افزایش می دهد. بنابراین به همین دلیل است که فراکتال کانتور به عنوان مجموعه نقطه کانتور نیز شناخته می شود. یکی دیگر از راه های ترسیم مجموعه کانتور برای روشن تر شدن این است که از میله های افقی به جای خطوط مستقیم استفاده کنید. با تکرار مراحل حذف یک سوم میانی تصویری دریافت می کنیم که بیشتر شبیه شانه است [لاووریر 2010]. که در 1977, وقتی بنوا مندلبرو شد بررسی مفهوم چه یک فراکتال بود, او همچنین کشف کرد که فرکتال دارای ابعاد. وی توضیح داد که فراکتال ها ظرفیت دارند و با فرمول قابل تعریف است. "مفهوم بعد فراکتال راهی برای اندازه گیری خشن بودن منحنی های فراکتال فراهم می کند. هرچه منحنی ناهموارتر و نامنظم تر باشد بعد فراکتال تی اس بالاتر مقداری بین یک تا دو است. بعد کسری مربوط به شباهت به خود است از این جهت که ساده ترین راه برای ایجاد شکلی که دارای بعد کسری باشد از طریق شباهت به خود است" [لوبندر 1999]. قبل از توضیح اینکه فرمول به چه چیزی بستگی دارد باید اطمینان حاصل کنیم که وقتی در یک تصویر فراکتال بزرگنمایی می شویم مرز با چیزی که بزرگنمایی می کنیم باید با کل فراکتال مطابقت داشته باشد. پس از تایید شده است, تعداد قطعات و یا بخش های خط که به یکی از بزرگتر مناسب باید تعریف شود. ما این شماره را خواهیم خواند. سپس می توانیم بعد فراکتال را به این صورت تعریف کنیم: \شروع\شروع= (ورود(ن)) /ورود/بدون عدد//\پایان\پایان [شاپیرو 2010] با استفاده از این معادله می توانیم اعمال کنیم که فقط مورد بحث قرار گرفت فراکتال, منحنی کوچ. اول ما می توانیم در بعد منحنی کخ پس از انجام این فرایند فقط یک بار نگاه کنید. بنابراین یک قطعه خط وجود دارد که با یک مثلث متساوی الاضلاع در وسط به چهار قسمت تقسیم می شود. اکنون چهار بخش خط داریم و می توانیم بگوییم n نفر 4=. زیرا این چهار قطعه 1/3 طول قطعه خط اصلی هستند, سپس مقیاس یا بزرگنمایی 3 است. بنابراین با استفاده از تعریف برای بعد فراکتال have د=ورود 4/ورود 3 $ $ داریم که به ما می دهد د= 1.26185... زیرا این عدد بعد بزرگتر از 1 دارد و یک عدد صحیح است پس می توان نتیجه گرفت که منحنی کوچ در واقع یک فراکتال است.

گاستون جولیا یک ریاضیدان فرانسوی بود که علاقه مند به نگاه کردن به رفتار مدار یک عدد مختلط بود که تحت یک تابع تکرار می شود. این بدان معناست که برای یک تابع یعنی اف را روی یک عدد مختلط اعمال می کنیم. نتیجه هرچه باشد همان تابع را روی مقدار جدید اعمال کنید. جولیا این عمل را بارها و بارها تکرار کرد تا ببیند نتایج چگونه عمل می کنند. او ایده مجموعه زندانی و فرار را با مطالعه چگونگی تکرار برخی از عملکردها به مجموعه های محدود یا نامحدود مطرح کرد. مجموعه زندانیان اشاره به تمام اعداد مختلط در مدار خود محدود است و مجموعه فرار اشاره به اعداد مختلط است که در مدار خود تحت یک تابع خاص نامحدود هستند. نمونه ای از یک زندانی مقدار است z ز_0 = 2=تحت تابع f ج(ی) = ز^2-ز+1. ما دریافت می کنیم: \شروع\شروع کنید ز_0=1+\ایمات\بدون عدد\\ ز_1=ج(1+\ایمات)=(1+\ایمات)^2-(1+\ایمات)+1=\ایمات \بدون عدد \\ ز_2=اف (\ایمات)=\اف^2-\ایمات+1=-\ایمات\نامتعارف\\ ز_3=اف (- \ایمان)=(- \ایمات)^2-(- \ایمات)+1=\ایمات\بدون عدد\\ ز_4=اف (\ایمات)=-\ایمات\بدون عدد\\ \پایانبندی چون خروجی ها به جلو و عقب تغییر می کنند, ما ارزش را می نامیم z ز_0=1+\ایمات.یک زندانی. اگر قرار بود مقداری را برای شروع انتخاب کنیم و تحت یک تابع تکرار کنیم و مقادیر بی نهایت بزرگ یا کوچک شوند, سپس یک فراری خواهیم داشت [اسپیتزناگل 2000].

درک اینکه مجموعه های زندانی و فرار چیست درک بهتری از مجموعه های جولیا می دهد. "مجموعه جولیا به عنوان مرز بین مجموعه زندانیان و مجموعه فرار تعریف شده است" [اسپیتزناگل 2000]. عملکردهایی که جولیا به نظر می رسید از فرم بودند f اف(ز)=ز^2 +ج where جایی که ج نشان دهنده یک ثابت پیچیده است. برای هر ج های مختلف که ما در این تابع استفاده ما یک مجموعه جولیا مختلف دریافت کنید. ما را انتخاب کنید z ز_0 to برای شروع با هر چه ما برای ج را انتخاب کنید. نشان داده شده است که اگر مدار از مقدار شروع, z ز_0$ $, همیشه در خارج از دایره است که شعاع واقع 2, سپس بقیه مدار نامحدود خواهد بود و در نتیجه یک فراری [اسپیتزناگل 2000]. پس از انتخاب یک مقدار ج که ما می خواهیم به استفاده از در تابع ما می توانیم مجموعه ای جولیا بر روی کامپیوتر تولید کند. ما با استفاده از هر عدد مختلط ما به عنوان ارزش شروع z ز_0 $ $ انتخاب شده است. برای هر پیکسل بر روی صفحه نمایش کامپیوتر, رنگ سیاه و سفید اختصاص داده است اگر مقدار محدود است و یا یک زندانی و سفید رنگی است اگر محدود نیست و تمایل به بی نهایت [بورک 2001]. اینجاست که همه این تصاویر هنری رنگارنگ که می بینیم از اینجاست. بسیاری از طرح های رنگی مختلف به جای سیاه و سفید برای دریافت این تصاویر پر جنب و جوش استفاده می کنند.< Jersey and Shwarz2008>مجموعه معروف دیگری که به نوعی مربوط به مجموعه جولیا است توسط بنوا مندلبرو کشف شد و مجموعه مندلبرو نامیده می شود. مندلبرو نیز تابع دقیق همان است که جولیا استفاده استفاده, f ج(ی)=ز^2 +ج$ $. مندلبرو می خواست مقادیر ج را پیدا کند که مجموعه را محدود کرده و به همین ترتیب مقادیر ج که باعث می شود مدار بدون محدودیت باشد وقتی این تابع تکرار می شود همیشه با شروع می شود z ز=0$ $. با این حال, چه تفاوت شدید بین چه گاستون جولیا می تواند با داده های خود را انجام دهید و چه مندلبرو می تواند با انجام بود خود. زمانی که مندلبرو در حال مطالعه فراکتال بود در تاریخ بسیار دیرتر از زمانی بود که جولیا در زمانی بود که رایانه ها وجود داشتند. در نتیجه مندلبرو میتوانست صدها هزار تکرار یک تابع را با استفاده از یک کامپیوتر انجام دهد که جولیا تنها میتوانست تعداد کمی از این تابع را با دست محاسبه کند. پس از مندلبرو مجموعه جولیا خود را جمع, او را در یک نمودار رسم, که در نتیجه در مجموعه مندلبرو [نیوجرسی و شوارتز 2008]. در زیر مجموعه ای از مراحل یا یک الگوریتم برای توسعه یک مجموعه مندلبرو توسط کامپیوتر وجود دارد: \شروع \مورد بخشی از صفحه پیچیده را انتخاب کرده و به شبکه ای از مقادیر ج تقسیم کنید. \مورد تعریف ن بودن چند نقطه از هر مدار شما را برای تصمیم گیری در مورد محدود یا نامحدود بودن می برد. \مورد از تابع استفاده کنید f ج(ی) = ز ^ 2+ج برای تکرار اولین ن نقاط مدار با مقدار شروع می شود, 0. \مورد اگر مدار نامحدود است, سپس رنگ ج مقدار مربوطه بر روی شبکه یک رنگ خاص. \مورد اگر مدار محدود شده است, سپس رنگ ج مقدار مربوطه بر روی شبکه رنگ های مختلف. حرکت به ارزش ج بعدی و نگه داشتن تکرار تا زمانی که تمام مقادیر ج برای اختصاص\پایان الگوریتم های بسیاری برای ایجاد فرکتال خود را بر روی کامپیوتر و بسیاری از وب سایت است که می تواند خواص خود شباهت در مجموعه مندلبرو نشان می دهد وجود دارد, و در ایجاد فرکتال اصلی تنها با انتخاب اعداد مختلط خاص.< Jersey and Shwarz2008>مزایای بسیاری در دانستن و درک چه فراکتال مهم نیست چه موضوع شما در حال کار در وجود دارد. فرکتال در فقط در مورد هر موجود زنده در طبیعت از درختان در جنگل انبوه به بدن انسان ما مشاهده شده است. اما فراکتال ها همچنین به ما کمک کرده اند تا در زمینه فناوری و سرگرمی بسیار جلو برویم. از فراکتال ها یا به طور خاص از دانه برف کوچ استفاده شد تا انتن های تلفن های همراه ما کوچکتر شود و در عین حال میزان فرکانس هایی را که می توانند دریافت کنند افزایش دهد [جرسی و شوارتز 2008]. فرکتال نیز بسیار در زمینه پزشکی استفاده می شود. یکی از این نمونه ها این است که ضربان قلب سالم هنگام ضبط روی کاغذ دارای الگوی فراکتال است. این به پزشکان کمک کرده است تا افرادی را که ممکن است مشکلات قلبی داشته باشند پیش بینی کنند [جرسی و شوارتز 2008]. یک مثال دیگر از جایی که فرکتال استفاده می شود در علوم کامپیوتر برای کمک به افزایش باور از جلوه های ویژه و گرافیک در فیلم امروز [نیوجرسی و شوارتز 2008] است.

یکی از کاربردهای خاص فراکتال ها در جلوه های ویژه در فیلم ها شامل فیلم جنگ ستارگان: قسمت سوم است. قسمت فیلم زمانی است که دو قهرمان به انتهای یک سکوی مکانیکی غول پیکر می دوند و ماده عظیمی از گدازه جلویشان خراب می شود. فرایند اولیه ای که برای تولید این گدازه استفاده می کردند این بود که به نظر می رسید گدازه از یک جت به پایین زیر سکوی مکانیکی شلیک می شود. در ابتدا گرافیک گدازه بسیار غیرواقعی به نظر می رسید و فقط به عنوان یک استوانه مستقیم گدازه در هوا جریان داشت. سازندگان می خواستند این امر واقع بینانه تر به نظر برسد بنابراین ایده فراکتال را گرفتند و روی این شکل مارپیچ استوانه ای گدازه اعمال کردند. شکل اولیه را گرفتند و کوچک کردند و دوباره اعمال کردند. بارها و بارها این کار را تکرار کردند تا یک توپ عظیم واقع گرایانه از حریق و گدازه به دست بیاورند

. بسیاری ممکن است ندانند یا درک نکنند که چگونه فیلم هایی که فقط رایانه تولید می شوند ناگهان شروع به کار می کنند. اولین فیلم به یک دنباله کامل کامپیوتر تولید شد پیشتازان فضا دوم: خشم خان\استناد

. این فیلم در ایجاد شد 1982, کمتر از ده سال پس از مندلبرو ساخته شده ایده فرکتال عمومی. فرکتال چیزی است که باعث می شود تصاویر تولید شده توسط کامپیوتر ممکن, و بدون اکتشافات مندلبرو, ما گرافیک شگفت انگیز در فیلم ها و بازی های امروز ما نیست.~کشف بزرگ که بنوا مندلبرو دست ساز در مورد فرکتال راه ما را فیلم تغییر کرده است, بازی های ویدیویی, بازی های رایانه ای, و غیره. فرکتال این امکان را به تصاویر زندگی واقعی از طریق یک کامپیوتر ساخته شده است. لورن کارپنتر که اکنون در استودیوی انیمیشن پیکسار کار می کند به خاطر کارهای علوم کامپیوتری اش معروف است که از فرکتال استفاده می کند و از تصاویر تولید شده توسط کامپیوتر استفاده می کند. او قبلا برای هواپیمای بویینگ کار می کرد و کارش این بود که ببیند هواپیماهایی که در حال ایده پردازی و ایجاد بودند هنگام پرواز چگونه به نظر می رسیدند. او می خواست کوه ها را در پس زمینه قرار دهد تا به عنوان واقع بینانه به نظر برسد. بنابراین پس از خواندن فرکتال: فرم, شانس, و بعد توسط بنوا مندلبرو, او به دست که هر سطح را می توان به اشکال ساده تر کوچکتر شکسته. وی سپس توانست مثلث های تصویری را به چهار تصویر کوچکتر ایجاد کند و به تکرار ادامه داد تا اینکه شکل دندانه دار کوه ها را داشت [جرسی و شوارتز 2008].

در نتیجه, فرکتال چهره های هندسی که الگوهای تکرار یکسان در مقیاس است که بی نهایت کاهش می دهد. در ابتدا, هنگامی که به دنبال در تصویر رنگارنگ از یک فراکتال, یکی ممکن است فکر می کنم که این فقط یک قطعه خلاق از هنرمندان است. با این حال پس از مطالعه زمینه ریاضی پشت سرشان عمق بسیار بیشتری نسبت به یک اثر هنری دارند. بنوا مندلبرو نظر گرفته می شود پدر هندسه فراکتال و اصطلاح ابداع, "فراکتال."او نشان داد که هر موجود زنده و غیر زنده در این جهان را می توان با استفاده از هندسه فراکتال به اصطلاحات ریاضی تقسیم کرد. اولین تجربه او در تلاش برای محاسبه طول خط ساحلی انگلیس منجر به این نظریه شد. دو اصل اصلی که فراکتال را تعریف می کنند عبارتند از شباهت به خود و بعد فراکتال. شباهت به خود به این معنی است که یک الگو هر چقدر بزرگ شود یکسان به نظر می رسد. بعد فراکتال مهم است زیرا نشان می دهد که فراکتال ها ظرفیت دارند و فقط تصاویر مسطح نیستند. همراه با بنوا مندلبرو, واکلو سیرپینسکی, گاستون جولیا, هلگ فون کوچ گرگ کانتور همه ریاضیدانان بسیار مهمی در تاریخ هندسه فراکتال هستند. همه این ریاضیدانان اشکال یا انواع فراکتال های خاص خود را دارند که کشف کرده اند. یکی از محبوب ترین ها مجموعه مندلبرو است که تکرار یک تابع را با استفاده از اعداد مختلط توصیف می کند. حتی اگر موضوع هندسه فراکتال صرفا ریاضی است, بسیاری از مردم راه را به خارج از ریاضی به علوم کامپیوتر پیدا کرده اند, علوم سلامت, و حتی مد و هنر. از فراکتال ها استفاده می شود تا فیلم های ما شگفت انگیزتر از زندگی به نظر برسند و باعث شود رایانه ها و بازی های ویدیویی ما احساس کنند که ما در این فیلم ها هستیم. کشف فراکتال ها به ما این امکان را داده است که هر ساله اندازه تلفن های همراه خود را کاهش دهیم و در عین حال به پزشکان کمک کرده است تا مشکلات قلبی را در بدن ما پیش از وقوع پیش بینی کنند. بدون کشف فرکتال, تکنولوژی ما, سرگرمی, سلامت ما, و غیره. جایی که امروز هست نخواهد بود.

جولیا مجموعه فراکتال (2د)(2001). http://local. wasp. uwa. edu. au/

پبورک / فراکتال/جولیاست/

بنوا مندلبرو ریاضیدان رمان در 85 سالگی درگذشت. نیویورک تایمز (2010). http://www. nytimes. com/2010/10/17/us/17mandelbrot. html? _r=1